Galilei và nghịch lý vô hạn

    Nói về Galileo Galilei thì dường như ai cũng biết đến ông ta, người chứng minh rằng trái đất quay quanh mặt trời. Người đã nói rằng "dù sau trái đất vẫn quay"..v.v. Nhưng hôm nay mình sẽ không bàn về vật lý mà sẽ nói về toán học.

    Nghịch lý Galileo Galilei như sau: Xét một dãy các số nguyên dương 1,2,3,4,5,... Dãy này là vô hạn vì luôn có thể thêm vào số cuối cùng và nhận được số lớn hơn. Nếu bây giờ ta bình phương dãy các số này ta sẽ nhận được các giá trị 1,4,9,16,25,... Và một lần nữa dãy này là vô hạn bởi mỗi số nguyên dương được gắn kết với một số bình phương của nó. Và có nghĩa là 2 dãy này phải có cùng số phần tử. Tuy nhiên đây chính là lúc nghịch lý xuất hiện- mỗi phần tử trong dãy các số bình phương lại cũng là dãy các số nguyên dương. Do đó, dãy các số nguyên dương phải có nhiều phần tử hơn dãy các số bình phương, bởi nó bao gồm cả những số không phải là bình phương của một số nguyên. Như vậy theo lý luận thứ nhất là có sự tương đương 1:1 về số phân tử giữa 2 dãy, trong khí lý luận thứ hai cho thấy dãy vô hạn các số nguyên dương có nhiều phần tử hơn dãy các số bình phương.

    Vậy là Galileo Galilei đã phát hiện ra một tính chất vô cùng kỳ lạ đó là với một tập hợp vô hạn, một tập con của nó cũng có thể có nhiều phần tử như toàn bộ tập ban đầu...

~NBC~

Tham khảo: Sách Khát vọng tới cái vô hạn của Trịnh Xuân Thuận